Logika adalah suatu displin ilmu yang berhubungan dengan metode berpikir. Pada tingkat dasar, logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk menentukan apakah suatu argumen yang diberikan adalah valid. Berpikir logis dalam matematika digunakan untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu komputer untuk menguji kebenaran dari program dan untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu pengetahuan alam untuk menarik kesimpulan dari eksperimen-eksperimen, dalam ilmu pengetahuan sosial dan dalam kehidupan sehari-hari untuk menyelesaikan banyak masalah. Tentu saja, kita tak henti-hentinya menggunakan pemikiran yang logis.
Dalam logika kita tertarik kepada benar atau salahnya dari pernyataan-pernyataan (statemen-statemen), dan bagaimana kebenaran/kesalahan dari suatu statemen dapat ditentukan dari statemen-statemen lain. Akan tetapi, sebagai pengganti dari statemen-statemen spesifik, kita akan menggunakan simbol-simbol untuk menyajikan sebarang statemen-statemen sehingga hasilnya dapat digunakan dalam banyak kasus yang serupa. Pokok bahasan ini merupakan konsep dasar yang sangat penting dalam mempelajari konsep-konsep matematika yang lebih lanjut.
A. Pentingnya Belajar Logika
Logika membantu untuk mengatur pemikiran kita dalam memisahkan hal yang benar dari yang salah. Sering kali kita membuat asumsi yang salah terhadap sesuatu hal, hanya karena salah menafsirkan. Disini logika dapat membantu kita menghindari salah penafsiran, dan meningkatkan daya berfikir secara analitis. Simbol-simbol (notasi) dalam logika merupakan sarana yang sangat penting dalam melakukan penalaran.
Notasi adalah suatu alat untuk perangkat untuk mengekspresikan suatu obyek (obyek ini dapat berupa benda, kalimat, bilangan-bilangan, dan sebagainya). Karena dengan adanya notasi dapat menyatakan secara singkat kalimat verbal yang panjang menjadi kalimat yang pendek dan penuh arti. Kalimat verbal yang berlebihan cenderung tidak jelas, dan sebaliknya penggunaan notasi yang berlebihan juga cenderung membuat materi itu menjadi sulit untuk dipelajari. Oleh karena itu penggunaan notasi harus dijaga agar tidak menghilangkan kelengkapan kalimat yang diwakili.
Contoh:
Ada sebuah bilangan yang jika ditambah dengan 2 menghasilkan 5. Cari bilangan itu? Maka dapat ditulis dengan kalimat yang lebih singkat:
Selesaikan persamaan x + 2 = 5
Ada beberapa catatan dalam penggunaan notasi diantaranya adalah:
1. Untuk menunjukkan obyek yang spesifik, gunakan huruf atau simbol tertentu.
2. Setiap huruf atau simbol dapat digunakan untuk mewakili suatu obyek.
3. Ada simbol-simbol tertentu yang mewakili obyek-obyek tertentu.
4. Sekali sebuah simbol sudah dipakai untuk mewakili suatu obyek, harus digunakan secara konsisten untuk mewakili hanya obyek itu saja.
Logika simbolik merupakan logika formal yang cenderung bersifat teknis dan ilmiah. Ada dua pendapat tentang logika simbolis yaitu:
1. Logika simbolis adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah, khususnya yang dikembangkan dengan pengunaan metode-metode matematika dan dengan bantuan simbol-simbol khusus sehingga dapat terhindar dari makna arti ganda dari bahasa sehari-hari.
2. Pemakaian simbol-simbol matematika untuk mewakili bahasa. Simbol-simbol itu diolah sesuai dengan aturan-aturn yang diberlakukan dibidang matematika untuk menetapkan apakah pernyataan bernilai benar atau salah.
Demikian juga ketidakjelasan berbahasa dapat dihindari dengan menggunakan simbol-simbol ini, karena setelah problem diterjemahkan ke dalam notasi simbolik, penyelesaiannya menjadi bersifat mekanis.
B. Pernyataan
Unit terkecil yang berhubungan dengan logika (proposisional) adalah kalimat. Kalimat-kalimat yang diperhatikan dalam logika bukan sebarang kalimat tetapi kalimat-kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Jenis kalimat ini disebut pernyataan atau statemen (statement). Setiap pernyataan adalah sebuah kalimat, tetapi sebuah kalimat belum tentu sebuah pernyataan. Hanyalah kalimat-kalimat yang bersifat “menerangkan sesuatu” (kalimat deklaratif) yang dapat digolongkan sebagai pernyataan. Akan tetapi, tidak semua kalimat yang menerangkan sesuatu dapat digolongkan sebagai pernyataan.
Jadi, pernyataan adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Istilah lain dari pernyataan adalah proposisi (propositions) atau kalimat tertutup. Jika sebuah pernyataan benar, maka pernyataan tersebut dikatakan mempunyai nilai kebenaran “benar”; jika sebuah pernyataan salah, maka nilai kebenarannya adalah “salah”.
Contoh 1.1
Berikut ini adalah contoh pernyataan:
(a) Bumi adalah bulat.
(b) 2 + 3 = 5 .
Kalimat (a) dan (b) adalah pernyataan dengan nilai kebenaran “benar”.
Contoh 1.2
Berikut ini adalah contoh bukan pernyataan:
(a) Bukalah pintu itu!
(b) Apakah anda dapat berbahasa Cina?.
Kalimat (a) adalah perintah dan kalimat (b) adalah pertanyaan.
C. Pernyataan Majemuk dan Penghubung Logika
1. Pernyataan Majemuk
Kalimat-kalimat sederhana yang benar atau salah adalah dasar dari pernyataan. Kalimat-kalimat yang lebih besar dan kompleks dapat dikonstruksi dari pernyataan dasar dengan mengkombinasikannya dengan penghubung logika (connectives). Jadi, proposisi dan penghubung logika adalah unsur dasar dari logika proposisional. Dalam matematika, huruf-huruf x, y, z,... melambangkan variabel yang dapat diganti dengan bilangan riil dan variabel-variabel ini dapat dikombinasikan dengan operasi hitung +, ´, -, dan ¸. Dalam logika, huruf-huruf p,q, r,... melambangkan variabel-variabel pernyataan, artinya variabel yang dapat diganti dengan pernyataan.
